Страница 159
634. Куб и прямоугольный параллелепипед имеют равные объёмы. Найдите площадь поверхности куба, если длина прямоугольного параллелепипеда равна 12 см, что в 2 раза больше ширины и в 4 раза больше высоты параллелепипеда.
635. Ребро одного куба в 4 раза больше ребра второго. Во сколько раз: 1) площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго; 2) объём первого куба больше объёма второго?
1) Пусть a − ребро малого куба, тогда 4a − ребро большого куба, тогда:
6 • (a • a) = 6a² – площадь поверхности малого куба;
6 • (4a • 4a) = 96a² – площадь поверхности малого куба;
96a² : 6a² = 16, то есть в 16 раз площадь поверхности большого куба больше площади поверхности малого.
2) Пусть a − ребро малого куба, тогда 4a − ребро большого куба, тогда:
a • a • a = a³ – объём малого куба
4a • 4a • 4a = 64a³ – объем большого куба
64a³ : a³ = 64, то есть в 64 раза объем большого куба больше объем малого.
Ответ: Площадь поверхности больше в 16 раз, объём больше в 64 раза.
636. Как изменится объем прямоугольного параллелепипеда, если:
1) длину увеличить в 4 раза, ширину − в 2 раза, высоту − в 5 раз;
2) ширину уменьшить в 4 раза, высоту − в 2 раза, а длину увеличить в 16 раз?
1) V = 4a • 2b • 5c = 40abc, то есть объем прямоугольного параллелепипеда увеличится в 40 раз.
2) V = (a : 4) • (b : 2) • (с • 16) = (16 : 8)abc = 2abc, то есть объем прямоугольного параллелепипеда увеличится в 2 раза.
637. Как изменится объем прямоугольного параллелепипеда, если:
1) каждое измерение увеличить в 2 раза;
2) длину уменьшить в 3 раза, высоту − в 5 раз, а ширину увеличить в 15 раз?
1) V = 2a • 2b • 2c = 8abc, то есть объем прямоугольного параллелепипеда увеличится в 8 раз.
2) V = (a : 3) • (b : 5) • (с • 15) = (15 : 15)abc = abc, то есть объем прямоугольного параллелепипеда останется прежним.
638. В бассейн, площадь дна которого равна 1 га, налили 1 000 000 л воды. Можно ли в этом бассейне провести соревнования по плаванию?
S = 1 га = 10 000 м² = 1 000 000 дм² – площадь дна бассейна.
V = 1 000 000 л = 1 000 000 дм³ – объём налитой воды.
V = S • h, значит h = V : S
h = V : S = 1 000 000 дм³ : 1 000 000 дм² = 1 дм – высота налитой в бассейне воды.
Это значит, что плавать в этом бассейне невозможно.
Ответ: Нет, соревнования по плаванию провести нельзя.
639. В кубе с ребром 3 см проделали три сквозных квадратных отверстия со стороной 1 см (рис. 182). Найдите объём оставшейся части.
1) 9 • 3 = 27 (см³) – объём куба с ребром 3 см.
2) 1 • 1 • 3 = 3 (см³) – объем одного сквозного отверстия со стороной 1 см.
3) 3 • 3 – (1 + 1) = 7 (см³) – объём вырезанной части.
27 – 7 = 20 (см³) – объём оставшейся части.
Ответ: 20 см³.
Пояснение: в 3 действии мы отняли объём пересечения (1 см³ + 1 см³) отверстий.
640. Размеры куска мыла, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, равны 12 см, 6 см и 4 см. Каждый день используют одинаковую массу мыла. Через 14 дней все размеры куска мыла уменьшились в 2 раза. На сколько дней хватит оставшегося куска мыла?
1) 12 • 6 • 4 = 72 • 4 = 288 (см³) – объём нового куска мыла.
2) (12 : 2) • (6 : 2) • (4 : 2) = 6 • 3 • 2 = 18 • 2 = 36 (см³) – объём мыла через 14 дней.
3) 288 – 36 = 252 (см³) – мыла было использовано за 14 дней.
4) 252 : 14 = 18 (см³) – мыла используется за 1 день.
5) 36 : 18 = 2 (дня) – хватит оставшегося мыла.
Ответ: на 2 дня.
Упражнения для повторения
641. В школьном коридоре, длина которого равна 30 м, ширина – 35 дм, надо заменить линолеум. Какое наименьшее количество рулонов линолеума для этого нужно, если длина рулона линолеума равна 12 м, а ширина – 160 см?
642. Из двух населённых пунктов, расстояние между которыми равно 54 км, одновременно выехали навстречу друг другу два велосипедиста и встретились через 2 ч после начала движения. Скорость движения первого велосипедиста составляла 12 км/ч. С какой скоростью двигался второй велосипедист?
